2010年中国大学生数学竞赛（丘成桐教授发起）竞赛大纲

2010年中国大学生数学竞赛（丘成桐教授发起）竞赛大纲的部分内容已确定，请参赛同学参考。

ダファベット 入金不要

2010-7-15

附录：2010年数学竞赛竞赛大纲

一．Syllabuses for Geometry and Topology

Geometry:

Curves and surfaces

1) Plane curves and space curves

2) The fundamental theorem of curves

3) Concept and examples of surfaces

4) The first and second fundamental forms

5) Normal curvature, principal curvature and the Gauss curvature

6) Orthogonal moving frames and structure equations of surfaces

7) Existence and uniqueness of surfaces

8) Isometric transformation of surfaces

9) Covariant derivatives on surfaces

10) Geodesic curvatures and geodesics, Geodesic coordinates

11) The Gauss-Bonnet formula

12) Laplacian operator on surfaces

Geometry on manifolds

1)Manifolds

2)Vector fields and differentials

3)Tensors and differential forms

4)Stokes formula

5)De Rham theorem

6)Lie derivatives

7)Lie algebras

8)Maurer-Cartan equations

9)Vector bundles

10)Connection and curvatures

11) Structure equations

12) Riemannian metrics

13) The Hodge star operator and Laplacian operator

14) The Hodge theorem

References:

M. Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces.

S S Chern and Chen Weihuan, Lectures on differential geometry

Q. Chen and CK Peng, Differential geometry

T. Frenkel: Geometry from physics

J. Milnor, Morse theory

Topology

Point Set Topology

1) Open set and closed set

2) Continuous maps

3) Haudorff space, seperability and countable axioms

4) Compactness and Heine-Borel theorem

5) Connectivity and path connectivity

6) Quotient space and quotient topology

Fundamental groups

1)Definition of fundamental groups, homotopic maps

2)Computation of fundamental groups: Van Kampen theorem

3)Covering maps and covering spaces

4)Applications: Brouwer fixed point theorem, Lefschetz fixed point theorem

Complexes and homology groups

1)Simplex, complexes and polyhedron

2)Barycentric subdivision and simplex approximation

3)Computation of fundamental groups of complexes

4)Classification of surfaces

5)Simplex homology groups

6)Application: Lefschetz fixed point theorem

Differential topology

1)Smooth manifolds and smooth maps

2)Sard’s theorem

3)Transversality and intersection

4)Vector fileds and Poincare-Hopf theorem

5)Differential forms and de Rham complexes

6)Orientation and integration

7)Poincare Lemma

8)Poincare duality

9)Meyer-Vietoris sequences

10)de Rham theorem

11)Vector bundle and Euler classes

References:

Armstrong, Basic topology

J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint

V. Guillemin and A. Pollack, Differential topology

Bott and Tu, Differential forms in algebraic topology (first chapter)

二．Syllabuses on algebra, combinatorics, number theory and representation theory

Algebra

群论（31）：

集合论预备知识；对称和群；子群和陪集分解；生成元集和循环群；正规子群、商群和同态定理；置换群和线性群；群在集合上的作用；Sylow定理和单群；自由群和群的表现；有限生成Abel群的结构；小阶群的结构；幂零群和可解群。

环和域（28）：

环与域的基本概念；环的同态基本定理；环的直积和局部化；整环的整除理论；高斯整数环与二次平方和问题；多项式环和对称多项式；域的扩张；代数学基本定理；尺规作图；有限域。

Galois理论简介（21）：

分裂域；域的可分扩张与正规扩张；域的伽罗瓦扩张和Galois基本定理；方程的伽罗瓦群；代数方程的根式解。

教材： 冯克勤，李尚志，查建国，章璞， 《近世代数引论》

参考教材：刘绍学，《近世代数基础》

S. Lang, Algebra

M. Artin, Algebra

E. Artin, Galois theory, Edited and supplemented with a section on

applications by Arthur N. Milgram. Second edition, with additions and

revisions. Fifth reprinting. Notre Dame Mathematical Lectures, No. 2

University of Notre Dame Press, South Bend, Ind. 1959 iii+82 pp.

Integers and polynomials

1. 数数理论：(a). 数的整除性，欧几里得算法，唯一分解定理；(b). 同余式和同余类，同余方程的求解，中国剩余定理；(c). 原根与指数；(d). 二次剩余，二次互反律；(e). 不定方程， Fermat方程。

2.多项式理论: (a). 域上一元多项式，欧氏算法，唯一分解定理,零点；(b).代数基本定理，单位根；(c). 整系数多项式，Gauss引理和Eisenstein判别法；(d). 多元多项式，齐次和对称多项式，对称多项式基本定理。

《整数与多项式》冯克勤 余红兵著 高等教育出版社

Groups and representation theory

1. Finite groups and compact groups

2. Representations

3. Direct sums and tensor products

4. Characters and class functions

5. Schur’s lemma and orthogonal relations

6. Complete reducibility of representations

7. Determination of representation in terms of characters

8. Representations of compact groups

9. Maximal torus

10. Weyl Chambers

11. Representation rings

References:

J. P. Serre, Linear representations of finite groups (Chinese translation by Feng Keqin)

J. Milnor, Representation rings of classical groups

三．Syllabuses on analysis and differential equations

Real analysis

第一章 中的点集 (4) 　　　　

邻域, 内点, 聚点, 开集和闭集, 集和 集, Borel集, 开集的构造定理, Cantor集

第二章 测度论 (20) 　

外测度, 可测集, Lebesgue测度, Caratheodory条件, Lebesgue -代数, Borel -代数, 可测集的构造, Lebesgue测度的性质. 可测函数的概念, 可测函数的运算封闭性, 简单函数,

可测函数与简单函数的关系. 可测函数的收敛方式: 几乎处处收敛, 依测度收敛, 依 范数收敛, 几种收敛性之间的关系,Egorov定理, Riesz定理.　可测函数的构造, Lusin定理. 　　　　

第三章 积分论 (20) 　　

非负简单函数的积分, 非负可测函数的积分, 积分的线性性质, 积分对积分区域的可加性, 积分的不等式性质. Levi单调收敛定理, Fatou引理, 控制收敛定理及其若干推论. Lebesgue积分与Riemann积分的关系. Fubini定理

第四章 微分与不定积分 (16) 　　

Hardy-Littlewood极大函数, Lebesgue微分定理. 单调函数的性质, 单调函数的可微性. 有界变差函数的定义与性质, 有界变差函数的Jordan分解. 绝对连续函数, 绝对连续函数与不定积分, 微积分基本定理. 　　　　

第五章空间 (12)

H"older不等式, Minkowski不等式, 空间的完备性. 空间, 规范正交系, Riesz-Fisher定理

第六章 抽象测度论与积分论简介 (6)

Text books:

E.M. Stein and R. Shakarchi， Real Analysis: Measure Theory,Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, 2005

周民强, 实变函数论, 北京大学出版社, 2001

Complex analysis

第一章 复变量函数（学时 16 ）

1.1 复数与平面点集，球极投影

1.2 复变量函数的连续与极限

1.3 复导数与Cauchy-Riemann方程

1.4 复微分与保角映射

1.5 初等函数与幂级数

第二章 复积分与Cauchy积分公式 （学时24 ）

2.1 复积分，Green-Stokes 公式

2.2 Cauchy 定理与Cauchy积分公式

2.3 全纯函数的幂级数展开

2.4 最大模原理，Schwarz 引理

2.5 留数公式与亚纯函数的Laurant展开

2.6 定积分的计算

2.7 调和函数的积分表示

2.8 Weierstrass因子分解定理, Mittag-Leffler定理

第三章 保角映射与Riemann 映照定理(学时 16)

3.1 分式线形变换与初等函数的几何描述

3.2 正规族

3.3 Riemann 映照定理

3.4 对称原理， Schwarz-Christoffel 公式

3.5 Picard 定理

3.6 保角映射的应用

第四章 Riemann 面引论 （学时 16）

4.1 解析延拓

4.2 Riemann 面的概念

龚升，简明复分析

L. Ahlfors, Complex Analysis

K. Kodaira, Complex Analysis

Functional analysis

第一章 度量空间

压缩映象原理，完备化，列紧集，

线性赋范空间，凸集与不动点，内积空间

第二章 线性算子与线性泛函

线性算子的概念；Riesz定理及其应用；

纲与开映象定理；共鸣定理；Hahn-Banach定理；

共轭空间·弱收敛·自反空间；

线性算子的谱

第三章 紧算子

紧算子的定义和基本性质；Riesz-Fredholm理论；紧算子的谱理论　

夏道行等，《实变函数论与泛函分析》，人民教育出版社.

Peter D. Lax, Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002.　

Ordinary differential equations

第一章 基本概念与基本初等解法

常微分方程问题的来源；解定义及解的几何解释。

各类基本方程的初等解法；一阶隐式微分方程与奇解。

第二章 微分方程基本理论

初值问题解的存在唯一性定理；延拓定理；解关于初值和参数的可微性定理；高（维）阶微分方程相应基本理论。

第三章 线性方程组与高阶线性方程

线性微分方程组解的结构；常系数线性方程组的求解；

高阶线性微分方程一般理论；常系数高阶线性微分方程求解；Laplacian变换法

第四章定性理论初步

动力系统的基本概念；平面上初等奇点及其分类；解的Liapunov稳定性。

第五章边值问题

边值问题基本介绍，S-L边值问题的特征值，周期边值问题。

第六章首次积分与一阶偏微分方程解法

首次积分相关理论；一阶（拟）线性偏微分方程解法与几何解释。

王柔怀，吴卓群编： 《常微分方程讲义》， 人民教育出版社。

V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, 2006.

Partial differential equations

第一章 绪论

1.1 基本概念与典型方程的导出1.2 定解问题通解与定解条件

第二章 一阶偏微分方程

2.1 一阶线性偏微分方程2.2 一阶拟线性偏微分方程2.3 传输方程

第三章 波动方程

3.1 一维初值问题的适定性 3.2 一维初边值问题解的存在性 3.3 施图姆-刘维尔特征值问题3.4 高维初值问题解得存在性 3.5 能量法解的唯一性稳定性

第四章 热传导方程

4.1 初值问题解的存在性4.2 最大值原理与解的唯一性稳定性

第五章 位势方程

5.1 位势方程解的基本性质5.2 格林函数与狄利克雷问题解的存在性

5.3 调和函数的基本性质5.4 霍普夫最大值原理与纽曼问题解的唯一性稳定性

5.5 位势方程弱解与拉普拉斯算子的特征值问题

第六章 广义函数与基本解

6.1 基本函数空间 6.2 广义函数空间6.3 基本解

*第七章 偏微分方程组

7.1 方程的特征理论7.2 方程组的特征理论7.3 双曲方程组的柯西问题

7.4 柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理

References:

《偏微分方程》陈祖墀著 第三版 高等教育出版社，2008

《Basic Partial Differential Equations》, D. Bleecker, G. Csordas 著, 李俊杰 译，高等教育出版社，2008.

《数学物理方法》，柯朗、希尔伯特著。